加权平均不等式有哪些？
高中的加权平均不等式为ax+by≥a^x+b^y。 加权不等式是什么？ 加权不等式（weighted inequality）是1993年公布的数学名词。 人教版高中数学均值不等式是高二学的，也就是八年级。 作为数学中的一个重要公式。公式内容为Hn≤Gn≤An≤Qn，即调和平均数不超过几何平均数，几何平均数不超过算术平均数，算术平均数不超过平方平均数。 调和平均数是平均数的一种。但统计调和平均数，与数学调和平均数不同。在数学中调和平均数与算术平均数都是独立的自成体系的。 计算结果两者不相同且前者恒小于后者。 因而数学调和平均数定义为：数值倒数的平均数的倒数。但统计加权调和平均数则与之不同，它是加权算术平均数的变形，附属于算术平均数，且计算结果与加权算术平均数完全相等。 主要是用来解决在无法掌握总体单位数（频数）的情况下，只有每组的变量值和相应的标志总量，而需要求得平均数的情况下使用的一种数据方法。 加权不等式的一般形式： 如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立 。 证明如下： ∵（a-b)^2≥0； ∴a^2+b^2-2ab≥0； ∴a^2+b^2≥2ab。
均值不等式证明
均值不等式证明如下： 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 (A+B)^n >=A^n +nA^（n-1）B 引理：设A≥0，B≥0，则，且仅当B=0时取等号。 注：引理的正确性较明显，条件A≥0，B≥0可以弱化为A≥0，A+B≥0，有兴趣的同学可以想想如何证明（用数学归纳法）（或用二项展开公式更为简便）。 原题等价于： （a1+a2+………+a/k）^k≥a1a2……ak当且仅当a1=a2=………an时，k取等号。 当n=2时易证； 假设当 n=k时命题成立，即：1+a2+……+a/k)^k≥a1a2……ak，当目仅当a1=a2=……ak时取等号。那么当n=k+1时，不妨设ak+1是a1、a2…ak+1中最大者，则kak+1≥a1+a2+…+ak 设S=a1+a2+…+ak，（a1+a2+………+a/k+1）^k+1=（（s/k+kak+1-s）/k（k+1）） 当且仅当kak+1-S=0且a1=a2=……ai时，即a1=a2=…=ak=ak+1时取等号。 利用琴生不等式法也可以很简单地证明均值不等式，同时还有柯西归纳法等等方法。
琴生不等式公式
jensen不等式也就是琴生不等式，琴生不等式以丹麦技术大学数学家约翰·延森（John Jensen）命名。它给出积分的凸函数值和凸函数的积分值间的关系。 琴生不等式也叫詹森不等式，琼森不等式，是一个非常著名的不等式，有了它，我们可以推导出其他一些著名不等式，比如幂平均不等式、杨格不等式（Young Inequality），赫尔德不等式（H ölder Inequality），闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）。 关于琴生不等式的结论： 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≥0，那么f(x)是下凸函数（凸函数）。 如果f(x)二阶可导，而且f''(x)≤0，那么f(x)是上凸函数（凹函数）。 公式应用：(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（t>1时）；(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n>=((x1+x2+...+xn)/n)^t，（0=x1*x2*...*xn，取f(x)=log(x)。
什么是琴生不等式
琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）. 加权形式为： f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 凸函数的概念： 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数,或下凸函数. 【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或上凸函数. 同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数 琴生不等式说, 对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 如果上面凹凸是严格的,那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 现在我们看看如何证明琴生不等式,下面只对凸函数加以证明. 首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法 假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1) (f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n =((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 ≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 ≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) =f((x1+x2+...+xn)/n) 所以对于所有2的幂,琴生不等式成立. 现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n 然后我们设 x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论. 现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 (x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 显然,我们可以查看函数f(x)=x^2 由于 (f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 所以f(x)=x^2是凸函数 所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn, 有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 也就是n阶平方平均不等式. 从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦. 不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论. 如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理） 有了这个结论以后,使用琴生不等式就非常方便了, 现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 比如 i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0